Fraktale - Die schöne Selbstähnlichkeit

Mandelbrotmännchen in schwarz mit einem Farbverlauf außen von türkis Richtung rotThomas Steinercommons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_set_with_coloured_environment.pngCC BY-SA 3.0

Manchmal schwer zu erzeugen, schon immer vorhanden, aber erst spät als solche bezeichnet, und so gut wie immer schön anzuschauen, das sind Fraktale. Da ist es wirklich erstaunlich, dass die mathematischen Theorien und der Begriff des Fraktals erst in den 70er Jahren des 20. Jahrhunderts aufkamen. Seither erfreut sich dieses Gebiet der Mathematik aber einer durchaus großen Beliebtheit - unter Mathematikinteressierten, Forscher_innen, aber auch Künstler_innen.

Begriffsklärung:

In Wikipedia findet man für den Begriff Fraktal folgende Definition/Erklärung:

Fraktal ist ein vom Mathematiker Benoît Mandelbrot 1975 geprägter Begriff (lateinisch fractus ‚gebrochen‘, von lateinisch frangere‚ '(in Stücke zer-)brechen‘), der bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet. Diese Gebilde oder Muster besitzen im Allgemeinen keine ganzzahlige Hausdorff-Dimension (ein mathematischer Begriff, der in vielen üblichen geometrischen Fällen bekannte ganzzahlige Werte liefert), sondern eine gebrochene – daher der Name – und weisen zudem einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit auf. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren.

(http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktal; 30.05.2015)

Vereinfacht ausgedrückt kann man Fraktale so beschreiben: Wenn man eine Figur oder ein Objekt vergrößert, und der vergrößerte Abschnitt sieht dem Original dann sehr ähnlich bzw. ist sogar ident, handelt es sich um ein Fraktal. Man spricht in diesem Zusammenhang oft auch von einer Selbstähnlichkeit der Objekte.

Herkunft des Begriffs Fraktal:

Der Begriff Fraktal geht zurück auf den Mathematiker Benoît Mandelbrot (1924-2010). Er führte ihn 1975 in seinem Buch "Les objets fractals, forme, hasard et dimension" ein, in dem er Ideen von Jaromír Korčák (1895-1989) weiterentwickelte.

Beispiele:

Beispiele für Fraktale gibt es viele, einige bekanntere tragen sogar die Namen ihrer Entdecker - etwa Mandelbrotmenge (ein Bild von dieser befindet sich zu Beginn des Artikels), Sierpinski-Dreieck, Koch-Flocke - und zumeist sind sie auch leicht herzustellen. Exemplarisch sei dies am Beispiel des Sierpinksi-Dreiecks veranschaulicht.

Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks:

Die Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks erfolgt in 4 Schritten:

  1. Schritt: Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks
  2. Schritt: Verbinden der Mittelpunkte der Dreiecksseiten. Dadurch wird das ursprüngliche Dreieck in 4 kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke unterteilt.
  3. Schritt: Entfernen des mittleren Dreiecks. Die anderen drei Dreiecke bleiben erhalten.
  4. Schritt: Wiederholung der Schritte 2 und 3.

Jede Teilung des Sierpinski-Dreiecks bezeichnet man als Iterationsschritt. Mit jedem Iterationsschritt nimmt somit die Zahl der einzelnen Dreiecke zu und ihre Größe ab. Nach 4 Iterationsschritten sieht ein Sierpinski-Dreieck so aus:

Sierpinski Dreicke - Dreieck innereinander geschachtelt, sodass jeweils die Mittelpunkte der Seiten die Eckpunkte eines neuen Dreiecks sindThomas Steinercommons.wikimedia.org/wiki/File:Sierpinski.svgPublic Domain

Vorkommen/Anwendungen von Fraktalen:

Fraktale findet man in vielen Bereichen unseres Lebens, einige Beispiele sind im Folgenden kurz angeführt.

  • Natur: Küstenlinien, Flußverläufe, Farne, Schneeflocken,
  • Medizin: Blutgefäße, Krebsdiagnostik
  • Kunst: Bilder, Skulpturen

Zwei Anmerkungen zu den Anwendungen möchte ich noch anfügen. Bei Küstenlinien und dergleichen handelt es sich natürlich nicht um Fraktale mit einer genauen/strengen Selbstähnlichkeit, sondern man spricht bei diesen von einer statistischen Selbstähnlichkeit. Aus der Selbstähnlichkeit folgt letztendlich aber auch, dass man die exakte Länge von Küstenlinien nicht angeben kann. Denn je genauer man die Küstenlinie vermessen würde, desto länger würde sie. In der Krebsdiagnostik schaut es so aus, als ob das Wachstum von Tumoren nach den selben Prinzipien erfolgt, wie jenes von Fraktalen, womit Tumorzellen in Zukunft vielleicht schneller identifiziert werden könnten. Allerdings wurde dies bisher erst durch Simulationen nachgewiesen und noch nicht abschließend verifiziert.

Fraktale selber erzeugen:

Es gibt sehr viele Programme, mit denen sich Fraktale erzeugen lassen, wovon einige wenige hier kurz aufgelistet werden sollen:

Fraktale im Unterricht:

Im Lehrplan kommen Fraktale zwar nicht vor (auch nicht in Mathematik), aber Themengebiete, in denen man Fraktale ansprechen kann, gibt es viele und das in vielen Fächern. Aus geographischer Sicht kann man etwa auf Küsten- und Flussverläufe eingehen, aus biologischer auf Blutbahnen oder Ansätze in der Krebstherapie und in künstlerischen Fächern, Mathematik und Informatik gibt es ohnehin unzählige Möglichkeiten sich mit Fraktalen zu beschäftigen. Auch in anderen Fächer lassen sich mit Sicherheit Verbindungen zu Fraktalen herstellen, wenn man sie auch nicht gleich sieht.

Fazit:

Wer sich mit Fraktalen näher beschäftigt, wird erkennen, dass sie einem wirklich in vielen Bereichen des Lebens begegnen. Jene, die sich mit den mathematischen Hintergründen beschäftigen, werden schnell feststellen, dass es hier sehr viel zu entdecken gibt. Und wer mit all dem nichts anfangen kann, findet Fraktale vielleicht einfach nur schön und erfreut sich an den vielen verschiedenen künstlerischen Darstellungen.

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