Die 7 Millenniumprobleme

RedakteurIn: Gerald Perfler
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In der Tradition der Hilbertschen Probleme (23 ungelöste mathematische Probleme, die der Mathematiker Hilbert im Jahr 1900 auf einem Kongress vorgetragen hat - bzw. 24 wenn man jenes aus dem Nachlass noch mitzählt) hat das Clay Mathematics Institute 7 Millenniumprobleme formuliert. Diese warten nun großteils noch auf ihre Lösung, denn bisher wurde nur eines davon gelöst.

Das Clay Mathematics Institute:

Das Clay Mathematics Institute (CMI) wurde 1998 von Landon T. Clay gegründet und 1999 eröffnet. Es handelt sich hierbei um eine Stiftung, welche sich die Förderung von mathematischem Wissen zur Aufgabe gemacht hat.

Die Millenniumprobleme:

Im Jahr 2000 veröffentlichte das CMI eine Liste mit 7 bisher ungelösten Problemstellungen der Mathematik und lobte für deren Lösung eine Summe von jeweils 1 Million Dollar aus. Folgende Probleme wurden in diese Liste aufgenommen, wobei deren Beschreibung bewusst sehr einfach gehalten wird:

1. Gleichungen von Yang-Mills:

Problembeschreibung: Experimente und Simulationen deuten darauf hin, dass bei der Lösung der Quantenversion der Yang-Mills Gleichungen (Differenzialgleichungen zur Beschreibung von Elementarteilchen) keine beliebig kleine Massen möglich sind. Diese Vermutung gilt es zu beweisen oder zu widerlegen.

Nutzen: Die Yang-Mills Gleichungen werden zur Beschreibung der starken und schwachen Wechselwirkung verwendet und sind somit sehr wichtig für die Quantenphysik und die Beschreibung der Elementarteilchen.

Status: ungelöst

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2. Riemann-Hypothese:

Problembeschreibung: Die Verteilung der Primzahlen (Zahlen die nur durch 1 und sich selber teilbar sind) innerhalb aller Zahlen folgt keinem regelmäßigen Muster. Dem Mathematiker Riemann fiel auf, dass es aber einen engen Zusammenhang zwischen der Dichte dieser Primzahlen und dem Verhalten der sogenannten Riemannschen Zetafunktion gibt. Riemanns Hypothese besagt nun, dass die interessanten Lösungen dieser Riemannschen Zetafunktion entlang einer vertikalen geraden Linie liegen. Dies wurde für die ersten 10 Milliarden Lösungen überprüft, aber eben noch nicht bewiesen.

Nutzen: Die Riemann Hypothese dient zur Untersuchung der Verteilung von Primzahlen.

Status: ungelöst

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3. P-NP Problem:

Problembeschreibung: Unter P-Problemen versteht man jene Problemstellungen, die schnell in einer gewissen Zeit lösbar sind. Als NP-Probleme bezeichnet man jene Problemstellungen, die man zwar schnell überprüfen kann, die aber eine unmöglich lange Zeit zur Lösung brauchen. Die Fragestellung ist jetzt, ob nicht P gleich NP ist, also ob nicht jedes überprüfbare Problem auch in einer akzeptabelen Zeitspanne lösbar ist und dies gilt es zu beweisen oder zu widerlegen.

Nutzen: Das P-NP Problem ist eine der wichtigsten Fragestellungen der Komplexitätstheorie. Wenn P gleich NP ist, dann wäre es klar, dass es zu allen überprüfbaren Problemstellungen auch einen Lösungsweg geben muss. Und damit wären Fragestellungen wie etwa Optimierungsprobleme (z.B.: Finde jenen Reiseweg durch mehrere Orte, bei dem die zurückgelegte Strecke minimal ist) zumindest prinzipiell lösbar und man müsste Lösungen nicht mehr nur erraten und dann überprüfen, sondern könnte sie gleich berechnen.

Status: ungelöst

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4. Navier-Stokes Gleichungen:

Problembeschreibung: Die Navier-Stokes Gleichungen beschreiben die Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen, aber es gibt noch viele Fragestellungen rund um diese Gleichungen, die noch nicht bewiesen sind - wie etwa ob es überhaupt globale Lösungen gibt. Den Preis gibt es für einen substantiellen Erkenntnisgewinn in Richtung einer mathematischen Theorie bei der Beantwortung der vielen offenen Fragen.

Nutzen: Navier-Stokes Gleichungen spielen überall dort eine große Rolle, wo es um Strömungen geht und sie sind somit etwa sehr wichtig für Wetterprognosen, Windkanäle und Aerodynamik.

Status: ungelöst

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5. Vermutung von Hodge:

Problembeschreibung: Objekte (beschrieben durch Polynomgleichungen) können durch Zusammenkleben andere Objekte unterschiedlicher Dimension (ebenso durch Polynomgleichungen beschrieben) zusammengesetzt werden. Dies ist zwar für niedrige Dimensionen (bis zur 3. Dimension) bewiesen, aber leider noch nicht für höhere Dimensionen oder gar allgemein für beliebige Dimensionen.

Nutzen: Viele Grundformen der Natur können durch Polynomgleichungen beschrieben werden.

Status: ungelöst

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6. Poincaré-Vermutung:

Problembeschreibung: Die Poincaré-Vermutung besagt, dass geometrische Objekte, solange sie keine Löcher haben, zu einer Kugel deformiert (also gestreckt bzw. gestaucht) werden können. Dies soll sowohl für 2 dimensionale Objekte im 3 dimensionalen Raum, als auch für 3 dimensionale Objekte im 4 dimensionalen Raum gelten.

Nutzen: Die Poincaré-Vermutung ist wichtig für allgemeine Aussagen um die Beschaffenheit des Weltraums.

Status: 2002 von Grigori Jakowlewitsch Perelman gelöst, der aber auf das Preisgeld verzichtet hat.

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7. Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer:

Problembeschreibung: Birch und Swinnerton-Dyer haben ein Verfahren angegeben, mit dem man den Rang einer elliptischen Kurve aus ihrer Gleichung berechnen kann. Allerdings ist dieses bisher weder bewiesen noch widerlegt.

Nutzen: Vor allem in der Kryptographie spielen elliptische Kurven eine große Rolle.

Status: ungelöst

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Fazit:
Noch wären einige Millenniumprobleme ungelöst. Wer sich also im Stande fühlt und etwas Zeit hat, kann sich ja gerne daran versuchen. Wenngleich man dafür wohl etwas mehr als nur mathematisches Basiswissen mitbringen sollte.

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Datum: Mi. 27.01.2016